Halaman
Modul Matematika Umum Kelas 11 Tahun 2020 Materi Pokok Pembelajaran: INDUKSI MATEMATIKA Metode Pembuktian dengan Induksi Matematika Penerapan Induksi Matematika
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2INDUKSI MATEMATIKAMATEMATIKA UMUMKELASXIPENYUSUNAsmar Achmad, S.PdSMA Negeri 17 Makassar
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN..............................................................................................................................................2DAFTAR ISI.............................................................................................................................................3GLOSARIUM............................................................................................................................................4PETA KONSEP........................................................................................................................................5PENDAHULUAN....................................................................................................................................6A. Identitas Modul...........................................................................................................6B. Kompetensi Dasar.......................................................................................................6C. Deskripsi Singkat Materi............................................................................................6D. Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................7E. Materi Pembelajaran...................................................................................................7KEGIATAN PEMBELAJARAN 1........................................................................................................8METODE PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKA................................................8A.Tujuan Pembelajaran..................................................................................................8B.Uraian Materi..............................................................................................................8C.Rangkuman...............................................................................................................15D.Latihan Soal..............................................................................................................15E.Penilaian Diri............................................................................................................23KEGIATAN PEMBELAJARAN 2.....................................................................................................24PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKA......................................................................................24A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................24B.Uraian Materi............................................................................................................24C.Rangkuman...............................................................................................................30D.Latihan Soal..............................................................................................................30E.Penilaian Diri............................................................................................................38EVALUASI.............................................................................................................................................39DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................................48
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUMInduksi Matematika:Induksi matematika merupakan metode untuk membuktikan bahwa suatu sifat yang didefinisikan pada bilangan asli n adalah bernilai benar untuk semua nilai n yang lebih besar atau sama dengan sebuah bilangan asli tertentu.Deret:Bentuk penjumlahan yang terdiri atas suku-suku barisan bilangan yang tersusun secara berurutan.Keterbagian:Habis dibagi,bukan hanya dapat dibagiKetaksamaan:Kalimat pernyataan yang menyatakan hubungan tidak sama. Menggunakan tanda hubung <, >, , , atau .
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEPPernyataan MatematisBilangan AsliPernyataan MatematisNon-Bilangan AsliPernyataan MatematisLogikaMatematikaCara PembuktianPrinsip Induksi Matematika1.Langkah Awal2.Langkah InduksiMetode Pembuktian Lainnya:a.Pembuktian Langsungb.Pembuktian Tidak Langsungc.Pembuktian KontradiksiPembuktian Deret (Rumus Jumlah Barisan)Pembuktian Keterbagian Bilangan BulatPembuktian Ketidaksamaan
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika UmumKelas:XIAlokasi Waktu:8 Jam Pelajaran (2 KP)Judul Modul:Induksi MatematikaB. Kompetensi Dasar3.1.Menjelaskan metodepembuktian Pernyataan matematisberupa barisan, ketidaksamaan,keterbagiaan dengan induksimatematika4.1.Menggunakan metodepembuktian induksi matematikauntuk menguji pernyataanmatematis berupa barisan,ketidaksamaan, keterbagiaanC. Deskripsi Singkat MateriInduksi matematika merupakanteknik pembuktian yang bakudalam matematika. Melalui induksiMatematika, kita dapat mengurangilangkah pembuktian yang sangat rumituntuk menemukan suatu kebenaran daripernyataan matematis hanya dengansejumlah langkah terbatas yang cukupmudah. Prinsip induksi matematikamemiliki efek domino (jika dominodisusun berjajar dengan jarak tertentu,saat satu ujung domino dijatuhkanke arah donimo lain, maka semuadomino akan jatuh satu per satu).Gambar 1. Prinsip induksi matematika berlaku dalam pola susunan kartuDengan induksi matematika kita dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, tetapi bukan untuk menemukan suatu formula atau rumus.Modul ini akan membahas tentang prinsip induksi matematik, metode pembuktiannya, dan penerapan induksi matematika pada pembuktian rumus jumlah barisan (deret), keterbagian, dan ketidaksamaan.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7D. Petunjuk Penggunaan ModulModul ini dirancang untuk memfasilitasi kaliandalam melakukan kegiatan belajar secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut.1.Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.2.Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan. 3.Perhatikancontoh-contoh penyelesaian permasalahan yang disediakan dan kalau memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali.4.Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan kalian dengan kunci jawaban dan pembahasan pada bagian akhir modul.5.Jika menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan contoh soalyang ada.6.Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi daripenguasaan kalian terhadap materi pada kegiatan pembelajaran.7.Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi tersebut agar kalian dapat mengukur penguasaan kalian terhadap materi pada modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan kalian dengan kunci jawaban yang tersedia.8.Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan kalian untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.E.Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 2kegiatanpembelajarandandi dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Metode Pembuktian dengan Induksi MatematikaKedua : PenerapanInduksi Matematika
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1METODE PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKAA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkankalian dapat menjelaskan metode pembuktian dengan induksi matematika, menjelaskan prinsip induksi matematika, dan menggunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan matematis.B.Uraian MateriInduksi matematikaadalah salah satu metode pembuktiandalam matematika. Secara umum, Induksi matematikamerupakan metode untuk membuktikan bahwa suatu sifat yang didefinisikan pada bilangan asli𝑛adalah bernilai benar untuk semua nilai 𝑛yang lebih besar atau sama dengan sebuah bilangan aslitertentu. Melalui induksiMatematika, kita dapat mengurangilangkah pembuktian yang sangat rumituntuk menemukan suatu kebenaran daripernyataan matematis hanya dengansejumlah langkah terbatas yang cukupmudah.Perlu ditekankan bahwadengan induksi matematikakitadapat melakukan pembuktian kebenaransuatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli,tetapi bukan untuk menemukansuatuformulaatau rumus.Misalkan 𝑃(𝑛)adalah sifat yang didefinisikan untuk suatu bilangan asli𝑛, dan misalkan pula 𝑎merupakan suatu bilangan aslitertentu. Andaikan dua pernyataan berikut bernilai benar:1.𝑃(𝑎)bernilai benar.2.Untuk sebarang bilangan asli𝑘≥𝑎, jika 𝑃(𝑘)bernilai benar, maka 𝑃(𝑘+1)juga bernilai benar.Maka pernyataanuntuk sebarang bilangan asli𝑛≥𝑎, 𝑃(𝑛)bernilai benar.Untuk memberikan gambaran ide tentang induksi matematika, bayangkan sebarisan kartu-kartu domino seperti pada gambar.Gambar 1. Efek DominoPrinsip Induksi Matematika
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9Kita gunakan dua asumsi:1.Kartu domino pertama dijatuhkan.2.Jika suatu kartu domino dijatuhkan, maka kartu domino berikutnya juga akan jatuh.Jika dua asumsi tersebut benar, maka seluruh kartu domino juga akan jatuh.Untuk melihat hubungan hal tersebut dengan prinsip induksi matematika, kita misalkan 𝑃(𝑛)adalah kalimat “domino ke-𝑛akan jatuh”. Ini dapat dinyatakan bahwa jika 𝑃(1)benar (domino pertama jatuh), maka untuk sebarang 𝑘≥1, jika 𝑃(𝑘)bernilai benar (domino ke-𝑘jatuh), maka 𝑃(𝑘+1)juga bernilai benar (domino ke-(𝑘+1)juga jatuh).Menurut prinsip induksi matematika, maka 𝑃(𝑛), yaitu domino ke-𝑛jatuh, juga bernilai benar untuk sebarang bilangan asli𝑛≥1.Gambar 2. Prinsip induksi matematika pada efek domino Pembuktian dengan induksi matematikaterdiri dari dua langkah. Langkah pertama disebut sebagai langkah dasar (basis step), dan langkah kedua disebut sebagai langkahinduktif (inductive step). Pandang suatu pernyataan “Untuk sebarang bilangan asli𝑛≥𝑎, dengan 𝑎adalah bilangan aslitertentu, sifat 𝑃(𝑛)bernilai benar.” Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kita akan menjalankan dua langkah berikut:•Langkah dasar(basis step)Akan ditunjukkan bahwa 𝑃(𝑎)bernilai benar.•Langkah induktif(inductive step)Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilanganasli𝑘≥𝑎, dengan 𝑎adalah bilangan aslitertentu, jika 𝑃(𝑘)bernilai benar maka 𝑃(𝑘+1)juga bernilai benar. Pada proses pembuktian dengan Prinsip Induksi Matematika, untuklangkah awal tidak selalu dipilih untuk n= 1, n= 2, atau n= 3, tetapi dapatdipilih sebarang nilai nsedemikian sehingga dapat mempermudah supayaproses langkah awal dipenuhi. Selanjutnya, yang ditemukan pada langkahawal merupakan modal untuk langkah induksi. Artinya, jika P(1) benar,maka P(2) benar; jika P(2) benar maka P(3) benar; demikian seterusnyahingga disimpulkan P(k) benar. Dengan menggunakan P(k) benar, makaakan ditunjukkan P(k+ 1) benar. Jika P(n) memenuhi kedua prinsipinduksi matematika, maka pernyataan matematisP(n) terbukti benar. Jika salah satudari kedua prinsip tidak dipenuhi, maka pernyataan matematisP(n) salah.Perhatikan bahwa pada langkah induktif, kita tidak membuktikan bahwa 𝑃(𝑘)benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika 𝑃(𝑘)benar, Metode pembuktian dengan induksi matematika
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10maka 𝑃(𝑘+1)juga benar. Pemisalan bahwa 𝑃(𝑘)benar tersebut dinamakan hipotesis induktif.Contoh 1.Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah nbilangan ganjil positifyang pertama sama dengan n2.JawabKita ketahui pola bilangan ganjil positifadalah(2n–1)untuk nbilangan asli.Akan kita tunjukkan bahwa:1 + 3 + 5 +7 + . . . + (2n–1) = n2MisalkanP(n)adalah persamaanP(n)= 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n–1) = n2.Untuk membuktikan kebenaran pernyataanP(n), kita harus menyelidiki apakahP(n) memenuhi prinsip induksi matematika, yaitu langkah dasardan langkahinduksi.•Langkah dasarAkan ditunjukkan bahwa 𝑃(1)bernilai benar.Untuk n= 1, maka P(1) = 1 = 12= 1.Jadi P(1) bernilai benar. (Langkah dasar selesai)•Langkah induktifAkan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli𝑛=𝑘≥1, jika 𝑃(𝑘)bernilai benarmaka 𝑃(𝑘+1)juga bernilai benar.Misalkan bahwa 𝑃(𝑘)diasumsikan bernilai benar untuk sebarang bilangan asli𝑛=𝑘≥1, yaitu𝑃(𝑘)=1+3+5+7+⋯+(2𝑘−1)=𝑘2Selanjutnya akan ditunjukkan bahwauntuk 𝑛=𝑘+1maka 𝑃(𝑘+1)juga bernilai benar, yaitu𝑃(𝑘+1)=1+3+5+7+⋯+(2𝑘−1)+(2(𝑘+1)−1)=(𝑘+1)2Karena 𝑃(𝑘)=1+3+5+7+⋯+(2𝑘−1)=𝑘2adalah pernyataan yang benar, makadari ruas kiri𝑃(𝑘+1)diperoleh:()()1 3 5 7 ... (21) (2(1) 1)1 3 5 7 ... (21)(2(1) 1)Pkkkkk+ + + + + − + + − = + + + + + − + + −2(22 1)kk= + + −221kk= + +2(1)k=+Kedua ruas dari 𝑃(𝑘+1)sama, maka 𝑃(𝑘+1)bernilai benar. (Langkah induktif selesai)Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah selesai, maka menurut prinsip induksi matematisterbukti bahwa:1+3+5+7+⋯+(2𝑛−1)=𝑛2untuk sebarang bilangan asli𝑛≥1. Jadi disimpulkan bahwajumlah nbilangan ganjil positif yangpertamasama dengan n2, dengan nbilangan asli.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11Contoh 2.Buktikan bahwa jumlah nbilangan asli yang pertama sama dengan(1)2nn+.JawabAkan dibuktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli𝑛≥1, maka1+2+3+4+⋯+𝑛=𝑛(𝑛+1)2Misalkan 𝑃(𝑛)adalah persamaan𝑃(𝑛)=1+2+3+4+⋯+𝑛=𝑛(𝑛+1)2•Langkah dasarAkan ditunjukkan bahwa 𝑃(1)bernilai benar.Untuk n= 1, maka ruas kiri P(1) = 1 dan ruas kanan P(1) =1(1 1)2122+==.Jadi P(1) bernilai benar. (Langkah dasar selesai)•Langkah induktifAkan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli𝑛=𝑘≥1, jika 𝑃(𝑘)bernilai benar maka 𝑃(𝑘+1)juga bernilai benar.Misalkan bahwa 𝑃(𝑘)diasumsikan bernilai benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛=𝑘≥1, yaitu𝑃(𝑘)=1+2+3+4+⋯+𝑘=𝑘(𝑘+1)2Selanjutnya akan ditunjukkan bahwauntuk 𝑛=𝑘+1maka 𝑃(𝑘+1)juga bernilai benar, yaitu𝑃(𝑘+1)=1+2+3+4+⋯+𝑘+(𝑘+1)=(𝑘+1)((𝑘+1)+1)2atau ekuivalen dengan𝑃(𝑘+1)=1+2+3+4+⋯+𝑘+(𝑘+1)=(𝑘+1)(𝑘+2)2Karena 𝑃(𝑘)=1+2+3+4+⋯+𝑘=(1)2kk+adalah pernyataan yang benar, maka dari ruas kiri 𝑃(𝑘+1)diperoleh:()()1 2 3 4 ...(1)1 2 3 4 ...(1)Pkkkkk+ + + + + + + = + + + + + + +(1)(1)2kkk+=+ +(1)2(1)22k kk++=+22222kkk++=+
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN122322kk++=(1)(2)2kk++=Kedua ruas dari 𝑃(𝑘+1)sama, maka 𝑃(𝑘+1)bernilai benar. (Langkah induktif selesai)Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematisterbukti bahwa 1+2+3+4+⋯+𝑛=(1)2nn+untuk sebarang bilangan asli𝑛≥1. Contoh 3.Buktikan dengan induksi matematika bahwa11(21)(21)21niniin==− ++